logとexpから見る「拡大縮小の法則」～対数入門編～

sato

7年前

おはようございます、satoです。

今日は久々の数学ネタ。
摂理の御言葉に出てくる「拡大縮小の法則」について、高校生なら一度は触れたことのある「指数と対数」から話をしてみたいと思います。

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対数とは

対数とは

まずは指数と対数について復習します。
特に「対数」とは何か、についてよくわからないという人も多いので、ここについてできるだけ丁寧に解説してみようと思います。

まず、2を3回掛けるとのように8になります。
これをのように書きます。これが指数表現というものです。そして2の右上の肩に乗っている3が指数です。
やのように何かの数の何乗になっている数字はたくさんあります。
ところで、指数というのは自然数の時には「同じ数を何回掛けたか」という意味になりますが、これを整数や有理数、実数(さらには果ては複素数)にまで拡張することができます。
たとえば、やのように決まるわけですね。詳しいことは数学の様々な教科書があるのでここでは省きます。

ところで、たとえばという数字はや、のように同じ数だったとしても「どの数を繰り返しかけたか」によって指数が変わります。
この「繰り返し掛ける数」、言い換えると「指数表現をするときの肩に乗せられる数字」を底といいます。
たとえば、「」でいうなら、指数表現の底は「8」になります。

ここまでが指数の話ですが、対数はこの話を基にして考えると少し分かりやすくなります。

先程指数というものが実数まで使うことができる、ということを書きましたが、このようにして拡大した指数を使うと全ての正の実数が「ある数を底とした指数表現」で表せるのです。
たとえば、2を底とするとというように表せますが、となる実数「?」も存在します。
そこで、この「?」をどうにかして表したいのですが、その時に「底」と「表そうとしている数」を使うわけです。それがという表現です。
ここで、が出てきたのですが、このように「指数を『底』と『表そうとしている数(真数)』を使って表す方法」が対数表現です。