3/14にちなんで、円周率について語ってみる | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

おはようございます、satoです。
皆様、3月14日と言えばなんの日でしょうか？

そう、円周率の日ですね。どうやら数学の日とも言われているようです。

公益財団法人・日本数学検定協会が1997年（平成9年）に制定。

日付は円周率（π）の近似値3.14から。数学を生涯学習として、子どもから大人まで楽しめるものに発展させようと制定された記念日である。記念日は一般社団法人・日本記念日協会により認定・登録された。
雑学ネタ帳ー数学の日（3月14日記念日）より

流石に数学の日と言われたら、数学の専門家を自負している私も何か書かないと！
ということで今回は円周率について色々私が知っていることを語ってみようと思います。ちょうど自分が最近勉強していることとも関わっているので、整理のためにも…。

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はじめに：円周率とは
円周率に関連する式について
最近の話題：周期という実数の種類とp進周期環

はじめに：円周率とは

円周率というのは「円の直径に対する円周の長さの比率」を表す数字で、小学生の時には「3.14」として計算していました。先ほどの円周率の日、数学の日というのはこの数字にちなんだものです。
円というのは「ある点を中心に距離が等しい点を全て結んだもの」と考えられます。円は相似なので、「直径と円周の長さの比」は一定になります。

円周率を3.14としたのは計算をしやすくするためで、実際には3.141592653589793238…とずっと続きます。これをπと表します。

小数点以下35桁までの値は次の通りである。

$\pi =3.14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\ldots$

円周率-Wikipediaより

この円周率は無限小数で、もっというと「無理数」です。これは「小数部分が循環しない」ことを意味します。
逆に「小数部分が循環する」数は有理数であり、必ず整数/整数という分数で表せます。例えば

\frac{1}{3}=0.3333333333…

というように1/3の小数部分は3がずっと続き、

\frac{8}{7}=1.142857142857…

というように8/7の小数部分は142857という数字がずっと続きます。
これに対して、円周率は同じ並びの数字が循環することはありません。このことから「円周率の中にはあらゆる数が含まれている」というワードが出てくることもあったりなかったり。無限に続く円周率が鍵で、それを計算し切ると世界が破滅する…なんて漫画もあったような。
こんな感じで創作の中では円周率を何かしらの神秘性と繋げることがあります。

ここまでオカルトっぽい話はともかくとして、無限に続く円周率を計算したり暗記するというのは一種の能力を測る基準となっている一面もあります。
例えばコンピュータの性能を測るために円周率を計算させるとか、円周率をどれくらい覚えているかで暗記能力を誇示したりとか。
余談ですが、最初に「…と続きます」と書いたのは私が実際に覚えている…と思っていたものです。
確認したら「3238」を「3328」と間違えていました…。

円周率に関連する式について

そんな円周率をどのように計算するか、ですが…これについては色々なしきがあります。
最も有名なものは「円に内接する正n角形」と「円に外接する正n角形」の周りの長さで挟み撃ちにするというものです。
これは東大の入試問題にもなるほど有名なものです。
例えば、正六角形で試してみると、直径1の円に内接する正六角形の周りの長さは(対角線で分けてできる三角形が正三角形となることから)半径0.5の6倍で3となります。一方、直径1の円に外接する正六角形の周りの長さはなんやかんや計算すると半径が1/√3となるので、この6倍の2√3≒3.46…となります。円周率はこの間の数字になります。

同様の方法で、アルキメデスは正96角形を用いて

\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}

と計算したようです。この22/7にちなんだ7月22日は円周率近似の日と呼ばれるそうです。

この他にも

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-…

という計算法があったりします。これはtanの逆関数のマクローリン展開を利用したものです。
こんな感じで円周率を計算する公式は色々あります。中には

\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(26390n+1103)\cdot(4n)!}{(4^n99^n\cdot n!)^4}

という複雑な式もあります。これを見つけたのはインドの魔術師で有名なラマヌジャンです。一体どうやってこんな公式を見つけたのやら…笑

円周率の計算とは少し異なりますが、円周率に関連したとても有名で、個人的にも好きな数式が「オイラーの公式」

e^{\pi i}=-1

です。これはネイピア数と呼ばれる無理数と「虚数単位(2乗して−1になる数)」が関わる式で一体どうしてこうなるのか、どのようにして発見したのかが気になるところです。

最近の話題：周期という実数の種類とp進周期環

先ほどのオイラーの公式は、

e^{i\theta}=\sin\theta+i\cos\theta

という関係式から得られます。これは指数関数と三角関数が複素数の世界では繋がっていることを示すとても重要な関係式です。この式と「sinπ=-1,cosπ=0」からオイラーの公式が出てくるのですが、実は「円周率という数字は三角関数の周期になっている」ということが近年発展している数学に繋がっていきます。

そもそも周期というのはどういう数かというと、ある関数f(x)に対して「f(x＋T)=f(x)」が任意のxで成り立つような数字のことです。これに当てはめると、円周率πは

\sin(x+2\pi)=\sin x

という式を満たすので、確かに三角関数の周期となっています。正確には2πですが…そこはさておき。

実はこのような数というのは意外と多くなく、このような数をp進の世界で作り出したのがp進周期環と言えます(あくまで個人的所感ですが)この辺りが最近の私の興味です。
この辺りの話について自分が理解したことを整理するのはまたの機会にするとして、p進周期環という数の世界で最も大事なのがlog(ε)という数字で、これを「周期」と呼んでいます。εという数を大雑把に語ると「p進の世界で1に限りなく近い数字」で、複素数の世界で