おはようございます、satoです。
昨日ついにホワイトボードが届きました！早速(同居人に手伝ってもらって)私の部屋の壁に貼り付けました。
これまで頭の中にあった大事なこと(寝ながらスマホを見ない、細かく神様を呼ぶなどの生活上の注意、現在の自分の心の問題点など)を書けるようになったことで視覚化できて、忘れにくくなりました。
並行して、数学の現在気になる問題も書いておきました。これを毎回見ることで、少しずつ具体化されると良いなぁと思い。
唯一残念なのが、これらのことを書いた段階でほぼいっぱいになってしまったことで…本当は好きな推しのイラストを描きたい(何回でも消せるのが良いところなんですよね。私には相性がいい)ところなのですが、そのスペースがなくなってしまいました(´；ω；`)
ところで、最近ずっとある数学の問題を考えていたのですが、本日それが解決した…かもしれません。
今日はこの過程で何が起きたのか…という話をしていきたいと思います。今回はアイデアの話になるので、専門的な用語もちょっとだけ使います。
この問題を考えるに当たって、まずはいくつかの具体例で計算し、どのような計算をするのかを考えていきました。
そして、このパターンを掴んだ段階でそれを一般化して証明していくのですが、この場合もいくつかのパターンに場合分けして証明をしていく必要があることが分かっていました。
それで、ひとまず最初のパターン、次のパターン…と一つ一つ証明していったわけですが、やっていくうちにこれ、数学的帰納法にできないかなぁと考えたのです。
というのも、次のパターンを証明する中で前のパターンが成り立つことを使う必要があったこと、計算の仕方が同じパターンになることをなんとなく感じていたからです。
しかし、帰納法を使うに当たって大事なのが「順序付け」で、今回の場合…不正確な使い方ですが「縦」と「横」の2方向の順序があったのです。
また、横の順序は普通の順序付けでなく、いわゆる「重み付き順序」にすると良さそうと思っていました。したがって、当初想定していた証明法は
縦の順位は同じで、横の重み付き順序で数学的帰納法を使って示す
↓
横の順序で全て正しいことを仮定して次の順位の最初を示す
という流れでした。
ただ、この想定の証明だと時間がかかるし、横の方の証明も縦の順位が小さい時は証明できていたものの、同じように一般的に証明できるかは自信がありませんでした。
また、「各順位の最初の場合」の一般的な書き方があまりうまくないので、余計な記号がいくつもついてややこしいなぁと感じておりました。
で、ちょっと行き詰まっていたので、一旦気分転換に「重み付き順序」を定義するために幾つか心の中にあったものを数式化してみました。
そうして、ちょっと形を見た上で席を立った直後(ちなみに、この時はデイケアの朝作業後の休憩時間でした)、ふとあることに気づきました。気づいた、というよりは閃いた、天啓を受けたという表現が私の中では正しいですが…。
「待てよ…この重み付き順序、そもそも初めから”ベクトルの成分の小さい順に並べたもの”を重みにするのでなく、”ベクトルそのもの”で順序付けしてもいいのでは？？
…そうしたら、そもそもごちゃごちゃした仮定は不要だし、そっちだとすっきり書ける！！」
この辺の具体的な話は論文になったら(もちろん、するつもり)ちゃんと分かるように書けますが、少し端折って書くと、元々は条件を満たす一つのベクトルに対して、「ベクトルの成分を小さい順に並べたもの」と「各成分の値に対応する成分の集合」をそれぞれ考えて、その組み合わせのパターンを順番に証明していくという流れだったのです。
で、この順番が「重み付き順序」になるのですが、実際に書いていた定義は「ベクトルで重み付けした順序」と同じになることに気づいたのです。しかも、この時の順序付けするベクトルは「0と1からなるベクトル」で、当初想定していたよりシンプルな形となりました。これだと「どのベクトルが出てくる？」問題も考えなくていいし、「各順位の最小の場合」も「各順位で最小となる成分の基本ベクトルの組」で構成できるので書きやすいです。
さらにさらに、この「0と1からなるベクトル」は「インデックス集合の部分集合」と一対一対応することが分かり、当初示したかったこととちゃんと一致することが分かりました。
このアイデアをさらに突き詰めた結果、縦の順位と横の順番を合わせて一つの順序付けにすることができるとわかり、数学的帰納法の証明としてはかなりシンプルになります。
ということで、この順序に基づいて数学的帰納法で証明を試みたところ…幾つか気になることはあるのですが、証明の大枠は構築できました！！
正直自分としてはここまでシンプルに証明が構築できるとは思っておらず、かなりびっくりしています。
あとは「この順序づけで全てのパターンを網羅できているのか」とか「証明の中にギャップはないか？」というところを確認していく作業になりますが、これで証明が完了すれば、私の考えている問題…の最初の段階は解決となります。これは割と嬉しい。
ちなみに、第二段階はまだ予想も立てられないので、まず具体的に計算していく必要があります。具体例を構築するのも大変ですが、頑張りたいところです。
今回の一連の流れ、一番大きいのは「重み付き順序を使うとうまく証明できそう」というアイデアだったのですが、これを具体化してみると私が全く考えなかった方向に、しかも綺麗な形にできるということが分かったわけです。
何が面白いって、この方向の証明は私の中には全くなかったわけで、完全に神様の働きとしか言いようがありません。
「重み付き順序にしたら良さそう」「今の証明だとちょっと難しいから、とりあえず作っておくか」という心の働きかけを通して神様が導いたわけですが、その前に私が色々な場合で計算・証明していった蓄積が一つのひらめきで綺麗に組み合わさったことに強い衝撃を感じています。
つまり、このように色々自分が頑張った土台の上に神様が答えを与えてくださってこそ、完全に自分のものになるのだ、ということがどんなことにも言えると思います。
この記事を書いたブロガー
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「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代になりました。目指せ数学者。数学というフィールドを中心に教育界隈で色々しています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。
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