「正方形が円の極限」の数学的解説

おはようございます、satoです。

今日は前に話した「四角形が角のついた円だ」という鄭明析先生の箴言について、ちょっとした補足説明をします。

前の記事では

   

のを限りなく大きくすると、正方形の式

   

となることを書きましたが、今日はこの証明をしたいと思います。

使うのは、はさみうちの原理です。理系の高校生ならなんとか理解できる話です。

極限の証明

は

   

と同じなので、これから示すのは、次のことになります。

   

では、これを示します。まず、今xもyも2乗しているので、は共に0以上です。
ここで、とします。すると、なので、次の不等式が成立します。

   

ここで、になります。(となることに注意)
そういうわけで、上の不等式は

   

となります。さらに、なので、不等式の両端をというようにを限りなく大きくするとどちらもに収束します。
以上のことからはさみうちの原理よりのとき

   

となります。同様にとすると

   

になります。以上から

   

となるのでした。

ということで、「正方形が円の一種の極限になる」ということが単なる直感だけでなく、数学的にも正しいことが示されました。