おはようございます、satoです。
今日は前に話した「四角形が角のついた円だ」という鄭明析先生の箴言について、ちょっとした補足説明をします。
前の記事では
![\[x^{2n}+y^{2n}=1\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea98c308df44d13ecb94e64b784268ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
の
![\[\max\{|x|,|y|\}=1\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ffe025a3709cfc444c113e76ff9dcfa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となることを書きましたが、今日はこの証明をしたいと思います。
使うのは、はさみうちの原理です。理系の高校生ならなんとか理解できる話です。
目次 非表示
極限の証明
![\[(x^{2n}+y^{2n})^{1/2n}=1\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-624bdcd9b89c473729fae68cc894e08d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
と同じなので、これから示すのは、次のことになります。
![\[\lim_{n\rightarrow\infty}(x^{2n}+y^{2n})^{1/2n}=\max\{|x|,|y|\}\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fdc85da5b16c92eb1e668a3e00314cb5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
では、これを示します。まず、今xもyも2乗しているので、
ここで、
![\[(x^{2n})^{1/2n}\le(x^{2n}+y^{2n})^{1/2n}\le (2x^{2n})^{1/2n}\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4fab4fb0620a367a805af2d440320d90_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ここで、
そういうわけで、上の不等式は
![\[|x|\le(x^{2n}+y^{2n})^{1/2n}\le 2^{1/2n}|x|\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a80973c65a3a171e4a62cf0351d9126c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となります。さらに、
以上のことからはさみうちの原理より
![\[\lim_{n\rightarrow\infty}(x^{2n}+y^{2n})^{1/2n}=|x|\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88927cd965efb24d3f868d17d386063b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となります。同様に
![\[\lim_{n\rightarrow\infty}(x^{2n}+y^{2n})^{1/2n}=|y|\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de8eaab0e833b7d8690a8cbc5cd21466_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
になります。以上から
![\[\lim_{n\rightarrrow\infty}(x^{2n}+y^{2n})^{1/2n}=\max\{|x|,|y|\}\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9f12d23112828d8c9c9a447169a903f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
となるのでした。
ということで、「正方形が円の一種の極限になる」ということが単なる直感だけでなく、数学的にも正しいことが示されました。
この記事を書いたブロガー
-
「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代になりました。目指せ数学者。数学というフィールドを中心に教育界隈で色々しています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。
最近の投稿
