数学者の思考の過程にある3つの段階

数学における思考の過程

代数幾何学と数論幾何学の歴史を通して、まず何かしらの「ビジョン」、言い換えるとその人の哲学が先にあり、それに基づいて数式を用いて理論を構築していくという数学研究の流れについて書きました。

実際、数学者の証明を見ると、しばしばどうしてそのような解法を思いついたのか？というくらいの『名人芸』のような発想がしばしば見受けられます。

中学・高校の数学でも幾何学の補助線の引き方って、「なんでこうなるの？」と思ったことありませんか？あれを説明するのはまた難しいのですが…。
このような「どうしてこうなるの？」という疑問は、数学の論文を読んでいると本当によくあります。
特に『天才数学者』と呼ばれる人たちの理論は、まるで先に証明の道筋がわかっていて、それを表現できる数学の概念がないから新たな概念を作っているのではないか？と思うくらい鮮やかです。それは「ビジョン」に基づいて必要な数式を作り理論を形成しているからなのですが…。

どうしてその発想ができたのだろうか？

果たして、彼らは何を見ていたのだろうか？

数学を研究する中で、私はそこに興味を持つようになりました。だって、そこがわかれば自然な形で、数学を理解できると思ったから。

そういうことを頭の中に考えながら、数学研究をしていました。
実際に自分で問題を立て、それを証明していく過程も経験し、別の数学者が考えた概念を理解することを多くしてきました。その経験で改めて感じたのは「数式の中に必ず実体がある」ということです。
この概念とは「どうしてその数式を考えたのか？」とか「その対象は何を表しているのか？」とか、そういうところです。
すべての数学的対象には必ず「背景」となる問題が存在し、その問題を解く上で必要な情報を適切な形で表現しています。この背景としては「数学の問題」だけでなく「物理、化学」や「経済」などからも来ています。

これを踏まえて、ビジョンの話とは少しずれますが、数学の問題を解く、または新たな数学の概念を作る…まとめると数学における思考の過程には大きく分けて「３段階」ある、ということを話したいです。

まず背景となる問題から「実体」となるものをイメージする段階。
多くの実験や計算をする中で「共通する現象」を見つけることができます。そこから「すべてのものでこれが成り立つのでないか？」とイメージができます。
また、時には必要となる「概念」がイメージとなって浮かび上がるとか、過去の結果からのアナロジーによって実体をイメージすることもあります。
数式を理解するときにはこの実体がなんなのかを理解することが必要になります。

次に浮かび上がったイメージを適切な数式にする段階。
浮かび上がったイメージから、それが満たしうる条件、証明に必要な性質などを予想したり、確認したりします。大抵は先行研究で証明された手法の改良、一般化が多いですが、それでも「自分が考えていたケース」に当てはめるには先行研究、自分のケース、両者に対する深い理解が必要となります。
大体ふわりとイメージが浮かんで、それを数式化しますがなかなかきっちり当てはまることはありません。それは「イメージの時点で欠けていた情報」があり、その曖昧な部分がうまく表現できなかったからです。
命題の証明でも、証明に至るアイデアはなんとなく浮かぶけど、それがどうしてなのか明確に説明できないことが多いです。そして、その部分をさらに考え、明確に数式化していきます。

これを繰り返すことでイメージを数式化し、完全に理解する段階に至ります。
私の最近のケースだと、はじめに問題が思い付いてから証明に至るまで3ヶ月以上かかりました。
その間にたくさんの計算と証明のアイデアを試しました。その試みはうまくいかないこともあるし、時には結果の予想が違っていたこともありました。
しかし、その中で問題に対する理解が深まり、段々と必要な性質と数式化する構想が固まってきました。
そして、一ヶ月くらい論文作成のために放置していて、最近再度挑戦したところやっとのことで問題の証明に至る論理が形作られたのでした。
最初には説明どころかこうなんじゃないか、これはきっとこうなる、くらいしか言えませんでしたし、ゼミでもそんな話をしてました。
しかし今となってはどうしてこれが成り立つのかしっかりと説明することができます。

こうして数学の概念が作られます。この中で、多くの「イメージ」をするのですが、最初の方はすぐに矛盾が生じたり、間違いであったことがすぐに分かります。そういう試行錯誤を経て、その問題が持つ「実体」を掴み、数式化を経て完全な理解をしていくのです。
その土台にあるのが「多くの計算と思考実験」と「閃き、インスピレーション」です。多くのケースで試みたことが脳に貯蔵され、それによって必要な数式が見えてくる、言ったところでしょうか。