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まえがき
おはようございます、satoです。
こちらの記事は日曜数学 Advent Calendar 2020の13日目の記事になります。
カレンダーを企画してくださったtsujimotterさんに感謝です。
というわけで、久々の数学小説です。お題目は【原始ピタゴラス数】。今回はSS形式で書いていこうと思います。
M→真理、X→数正、A→アキ、D→ディーです。詳しい設定等はこちらを御覧ください。
初見の方も多いかもなので、簡単に話すと「数学に興味のある大学生4人が数学の問題についてあれこれ自由に考える」物語です。真理、数正が数学が得意(数学科の学生)、アキ、ディーはそこまで得意でない、感じの設定です。
…本編を書くためのリハビリも兼ねているのはここだけの話です(^_^;)
前文：フェルマーの最終定理
ある日の夕方。
数正、アキ、ディーの三人はいつもの活動のために集まっていました。
と、そこに何やら上機嫌の真理がやってきました。
M「ふふ…やはり『数学ガール』は面白くていいわね」
A「あ、真理ちゃんだ。どうしたの、そんなニコニコして」
M「…そんなに笑っていたかしら？
『数学ガール』フェルマーの最終定理を読んでてとても面白かったのよ」
A「フェルマーの最終定理？」
M「こういう問題よ」
といって、黒板に真理は一つの数式を書きました。
を 以上の自然数とする。このとき、
を満たす自然数は存在しない。
![\[x^n+y^n=z^n\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f4334df7f121786980ddebb4c2407d8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
二人の会話するところを見ていたディーと数正が話し出しました。
D「…なんだ、この式。めっちゃ難しいじゃねぇか」
X「…そうか？」
D「数正みてーな数学が得意なやつなら簡単なんだろーけどよ。
数学が苦手な俺なんかにはさっぱりだぜ」
M「具体的には？」
D「文字がいっぱいありすぎて、ちんぷんかんぷんだ」
そういって、両手を挙げるディー。
X「数学に出てくる文字が何を表しているのかを一つずつじっくり見ていけばいい。
最初の
D「じゃあ、
X「
M「そもそも、この数式は無数にあるものをまとめて書いているわ。
たとえば、
A「
M「ええ。そして、その一つ一つに対して等式を満たすような自然数
D「…ってことはなにか？たとえば
![\[x^3+y^3=z^3\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-943670521897d8612665f916db602fdb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
を満たす自然数
X「そうなるな。そしてそれが…」
A「ちょっとまった！
その、存在しない…ってどういう感じなんだろ？なんとな～くはわかるんだけど…」
X「
A「自然数って
X「そうだ。そして、
M「…もう少し噛み砕いて言うなら、
”2つの自然数の3乗の和はある自然数の3乗にならない”
という言い方になるかしら」
A「…うん。さっきよりは意味が分かってきた気がする。
たとえば、
と、黒板に計算しながらアキが数正の方を向いて話しました。
X「それで合っている」
A「やったー！」
D「アキが具体的な数字で書いたから、俺も理解できたわ。で、これが
M「
”2つの自然数の
”2つの自然数の
D「はー…なんか難しそうだな」
A「ん？どういうこと？」
D「だってよ、自然数の3乗になる数って無数にあるんだろ？その中には一個くらい2つの自然数の3乗の和で表されるものがあるかもしれないじゃねぇか。
それが一個もない、というのを確かめるのが難しそうだなって思うだろ」
M「…その感覚は正しいわね。
実際、”2つの自然数の3乗の和はある自然数の3乗にならない”という問題は公開されてからおおよそ100年後に正しいことが示されたわ」
A「100年後！？」
D「マジか…」
X「証明したのはオイラーだな。
それに加えて、実際にはすべての
”2つの自然数の
ということを示さなければならないわけだ。最終的に問題が知られてから330年後にようやく正しいことが証明された」
M「証明したのはアンドリュー・ワイルズ。その証明は代数幾何学、数論、群論、可換環論、モジュラー関数…などなど、現代数学の最先端の技術が使われたとても面白いものになっているわ」
早く読めるようになりたいわね…と喜悦の表情で小さくつぶやく真理です。
その姿は美味しいご飯を前にしている人のよう。
原始ピタゴラス数
X「『数学ガール』にその話があったのか？」
と、来たときの真理の表情を思い出しながら、数正は言いました。
M「さすがにフェルマーの最終定理の証明について詳しくは書かれていないわ。
でも、面白いところは色々あった。たとえば、原始ピタゴラス数が無数に存在することの証明ね」
A「原始ピタゴラス数…？」
D「ってなんだよ？」
X「まず、ピタゴラス数というのは、次の等式を満たす3つの自然数
![\[x^2+y^2=z^2\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f10511599ede4dc68a790a76dce56d01_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A「あれ、これってピタゴラスの定理？」
X「そう、三平方の定理とも言うな。
これが成り立つような自然数の組がピタゴラス数だ」
D「これ、さっきの式に似ているな」
M「フェルマーの最終定理はピタゴラスの定理…もしくは三平方の定理が元になっているわ。似ているのはある意味当然ね」
A「
X「そこが数学の面白いところと言える。
M「具体的な例は分かるかしら？」
D「そうだな…こんなのあったよな？」
![\[3^2+4^2=5^2\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-553b00de45668ba0653c324f2fc1504b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A「えっと、左辺は
すごーい！よく覚えてたね」
D「これは何故かたくさん見たからな」
X「今、
A「そうなの？試しに、
えっと、
D「足したら
A「あっ！
M「
A「2つとも
X「このように、一つピタゴラス数を見つければ、
しかし、せっかくなら
D「ようやく原始ピタゴラス数のおでましってわけか」
X「原始ピタゴラス数というのはピタゴラス数
D「…わからん」
X「
別の言い方をすると、3つの数すべてを割り切るような
M「たとえば、
D「あー…公約数ってどうやって求めるんだっけか？」
A「ひとまず、約数を考えてみたらいいんじゃない？」
D「
全てに出てくるのが公約数だったな！思い出したぜ！
今の場合は
X「
A「うん、分かった感じがする！それで、これはどれくらいあるの？」
M「私が話したかったのはそこ。
この原始ピタゴラス数は無数に存在するのだけど、その証明のあらましを最後にユーリちゃんが出したのよ」
A「”ユーリちゃん”って？」
M「『数学ガール』に出てくる人物の名前。中学生だけど、高校生の主人公たちと一緒に数学を勉強するのよ。
面白かったのはその証明ね」
D「どんななんだ？」
M「まず、連続する2つの自然数を取ってくる。小さい方を
![\[(n+1)^2-n^2=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44a6de0bd70e968f008ef5d29393031c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
D「ふーん、なんかうまく整理された感じがするが…」
A「ん？これってどこかで見た気がするような？」
D「これ、って？」
A「最後の式。えーっと…
そうだ！奇数ってこうやって表されなかったっけ？」
M「その通り、2つの連続する自然数の2乗の差は必ず奇数になる。しかも、
あとは、
X「ふむ、せっかくだから、もう少ししっかり詰めるとしよう。
奇数の2乗から考えるのがよさそうか…
![\[m=2l+1\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b932bd8b4ce2a6fe2a600676e24fd9eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
X「
![\[m^2=(2l+1)^2=4l^2+4l+1=2(2l^2+2l)+1\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a58d3a27ee9377e58ee14f4141e4b6e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
X「このように変形されるから、
X「こうなって、確かにピタゴラスの定理が成り立つことが示された」
D「…わけわからん。一体何をしたんだ？」
X「さっきの真理の説明を聞いて、具体的に
その後、
A「ふむふむ。じゃあ、最後の変形は？」
X「示したかったのは
そのように因数分解をしたかった。
幸い、
A「…ホントだ！書いてあった！」
D「それで、ピタゴラス数であることを確かめたってわけか。
あれ、でもよ。これって本当に互いに素なのか？」
X「そこに気づくとは、なかなか鋭いな」
D「まぁ、俺もここでだいぶ勉強したからな」
へへっ、と気分良さげなディーです。
X「まず、
M「せっかくだから、これもちゃんと示しましょう。
あとの役に立つわ」
と、真理が口を挟みました。
X「ふむ、珍しいな、いつもはこういうのは飛ばすことが多い気がしたが…」
M「私が考えた問題の話にも繋がるのよ」
X「そうか…では、示そう。
互いに素であることを確かめるときには、公約数を
今、
A「うん、ここは高校でもやったから」
D「俺もいいぞ」
X「じゃあ、ディーに質問だ。
D「そうだな…」
![\[n=da\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66fb1ed5521f0cb7ed685a59e0e5f4f3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
D「…こうか？」
A「
D「
そうか、それも書かないといけねぇわけだな」
を自然数として
X「そのとおりだ。今は
を自然数として
![\[n+1=db\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b417c4eb6d08bcdaa566b2f9dd36a74_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
X「あとは2つの差を取る」
![\[(n+1)-n=db-da=d(b-a)\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ad5e404d3ee1aa8996acac0493780f54_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
X「よって、
A「そうすると、
D「それって、
X「そう。だから
M「このように、互いに素であることを確かめるときには
X「
A「どうして？」
M「もし、
そうすると
D「…つまり？」
M「
だから、
D「偶数同士の足し算は偶数になる。3の倍数同士の足し算は3の倍数になる。それと同じか…。
今は
X「納得できたようだな。それでは示していこう。」
であることから
となる。と は互いに素なので、あとは と が互いに素であることを示せばいい。これは ( は自然数)とおくと
となることからとなることから示される。 が と互いに素であるので、その積である も と互いに素となる。
![\[n=2l(l+1)=(m-1)(l+1)\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f6d6eed0e0294d1d0d64d8d00f7e74e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[1=2(l+1)-(2l+1)=d(2a-b)\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32f08d7fcea81d208de5fc66748d2784_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
X「まぁ、このような形か…。」
A「うーん、なんとなく分かる気がするんだけど…」
D「一つ一つ見ていくとするか」
そう言って、アキとディーは数正の証明を確認することにしました。
M「…成長したわね、二人共。
前だったら分からないって言って止まっていたのに、今では少しずつ自分から確認しようとしている」
X「そうだな。
ところで、真理の考えた問題、というのは何だ？」
M「そうね、その話をしましょう。
今示したことは原始ピタゴラス数が無数に存在することの証明だったけど、最も大事だったところは『2つの数の差が
言い換えると、これは『3つの自然数のうち2つの差が
X「確かにそうだな」
M「私が考えた問題は2つ。
その一つが、『3つの自然数のうち2つの差を
ということで、原始ピタゴラス数で2つの自然数の差が1となるものの存在証明でした。
続きはこちら！
日曜数学 Advent Calendar 2020→明日はコロちゃんぬさんです！(*´∀｀*)
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「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代になりました。目指せ数学者。数学というフィールドを中心に教育界隈で色々しています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。
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