→積分編⑥
「確かにこの面積の求め方は直感的には正しそうだけど、よくよく考えると”一つ一つのパーツの面積が0になる”という問題があるわ。
そこで…もう少し深く考えましょう」
そう話して、真理は黒板に図に幾つか線を追加しました。
「今、2つの長方形を書いたわ。
このうち赤いほうは”区間内で最も大きい値”を高さとした長方形。
青いほうは”区間内で最も小さい値”を高さとした長方形よ」
「2つの長方形の間にグラフのパーツがある、ってことは…
パーツの面積は2つの長方形の面積の間、ってこと？」
「そうよ。今、このパーツの面積を
青い方の高さを
「え、ちょっと待って！？」
と、ここでアキが少し慌てて止めました。
「なんだか、色々な文字がたくさん出てきて混乱しそう…」
「それもそうね。一つ一つ説明するわ」
「うん、まず…パーツの面積を
「あぁ…これはもう少し後で分かるのだけど、
「
「ええ。今、この面積は幾つかのパーツに分けられているのだけど、そのある一つを取ったのよ。それが”
「…」
アキはまだモヤモヤしている様子です。
「たとえば、最初のパーツは1番目だから面積が
「あ、そういうことか！そしたら2番目のパーツの面積は
「それでいいわ。
このパーツは何番目の数か分からないから、
実際には
「ふむふむ。なんとなく分かってきた！
…でも、直接数えたら何番目か分かるんじゃないかな？」
「フフフ…その発想は面白いわね」
真理は微笑みながら、話を続けました。
「でも、ここでは
それと…」
それから悪戯っ子のような笑みを浮かべて話しました。
「仮に100000位細かく切ったとして、このパーツは何番目って数えるのは大変じゃない？」
「……うわぁ…」
真理の言葉を想像して少しゲンナリしたアキ。
「だから、
「うん、なんか文字で置いた方がいい気がしてきた…」
「慣れないと難しいのだけど、慣れればこれほど便利なものはないわね。
さて、続けましょう。
「”
「ええ。慣れるのが早いわね」
「まぁ、さすがに何回かサークルで勉強したからね！」
アキは喜んでそう話しました。
「それでは、次に
これについて、アキでなくディーが答えました。
「…つまり、
「筋が良いわね」
「まーな！」
真理に褒められ得意気なディーです。
「でも、ちょっと惜しいわ。
この
「あ…いや、それは分かってたんだが、言葉が抜けてたんだ！」
「フフ…」
慌てて取り繕うディーに思わず笑ってしまう真理。
「では、文字については説明したところで、続けましょう。
このパーツの面積を
![\[f(a_k)\epsilon_k \le S_k \le f(b_k)\epsilon_k\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f205b95304a6395fcc8e523fbbbe725_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
「このような式が成り立つわ」
「…青い方の面積が
「そして、今区間を
![\[\sum_{k=1}^n f(a_k)\epsilon_k \le \sum_{k=1}^n S_k \le \sum_{k=1}^n f(b_k)\epsilon_k\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb2fb5080791ea83585d0cdb04e9871b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
「このようになる。真ん中の式は…」
「それぞれのパーツを足し合わせたから、求めたい図形の面積だ！」
「その通りよ。これを
![\[\sum_{k=1}^n f(a_k)\epsilon_k \le S \le \sum_{k=1}^n f(b_k)\epsilon_k\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5ff7b99fd0e1cfd085368e9bbeb9e1b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
「求めたい面積を2つの長方形の和、という分かっている図形の面積で近似した、ということだ」
と数正が補足しました。
「さて、ここからがちょっと難しい話なのだけど…。
今の数式を図で説明すると、このような形になるわ」
「青が小さい方の長方形、赤が大きい方の長方形を足し合わせたものになるわ。
そして、この図形とグラフの隙間が”
この差が…”区間を細かく分けるほど小さくなる”なら、
「…極限」
その言葉を聞いて若干真剣な顔で考えるアキ。
「区間を
![\[L_n=\sum_{k=1}^n f(a_k)\epsilon_k,\ M_n=\sum_{k=1}^n f(b_k)\epsilon_k\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f58979fa78bd92d04b1679ffe0edd85a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
「
![\[\lim_{n\rightarrow \infty}L_n=\lim_{n\rightarrow \infty}M_n\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5777e58eabc83c2582e2ecb306024041_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
「この極限値は
![\[S=\lim_{n\rightarrow \infty}L_n\]](https://setsuri-nihon.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e924e1c0006da51efce80919340c8759_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
「つまり、これが積分の”定義”になるのよ。この定義の方法を…数正は名前知っているわよね？」
「ああ…」
真理に振られて、数正はその名前を話しました。
「”区分求積法”だな」
→積分編⑧
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「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代になりました。目指せ数学者。数学というフィールドを中心に教育界隈で色々しています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。
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