ゆるゆるp進〜自分の勉強したことをアウトプット〜 | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

おはようございます、satoです。

以前、デジタルデトックスをしていたのですが、その間に数学の勉強をしていました。
コロナウイルスが流行していて外に出ることが難しい最中、やることがなくなって暇…ということもありますが、数学の勉強って自分にとっては一番良い気分転換なんですよね。
興味のあることを調べて、頭の中でまとめて、思いついた問題を考えて理解を深めていく…。
ゲームや漫画でも時間は潰せますが、どうしても頭がすっきりしないんですよね。

というわけで、今日は私がずっと興味を持っていたp進微分方程式の話を…するにはまだ理解度が足りないので、その前段階の

そもそも「p進数」ってなんぞや？

というところを、自分の理解と合わせて解説していきます。

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復習：数直線と絶対値について

復習：数直線と絶対値について

皆さんも色々なところでお使いになる定規。
こちらは0を基準にして、物の長さを図ることができます。
このように、「0からどれくらい離れているのか」によって、数の「距離」が定まります。
これが絶対値と呼ばれるものでした。
この絶対値を用いて「2つの数の間の距離」を「2つの数の差の絶対値」として定めていました。

ところで、この定規は大体「0.1cm」間隔で目盛りが刻まれていますが、当然それ以外にも数字があります。
たとえば1/2とかの有理数ですね。
直線に数字の情報を入れたものを数直線と言いますが、有理数を全て上の定規に書いていくとします。
そうすると全て埋まるかと言いますと…そうではありません。
実際には、√2や円周率πなどの無理数もこの直線の中に含まれています。
これらは全て「(循環しない)無限小数」で書かれています。整数を含めた有限小数と無限小数を合わせて実数と言います。

今の作り方から、実数まで考えると数直線には穴がなくなります。このような「数直線の穴を埋めていく」ことを完備化と言います。(正確な定義は後ほど)

と、ここまでは中学3年生の時にもやった話なのですが、この話を別の視点で見てみましょう。
そもそもこのように作られた実数ですが、その大元となるのが「数直線」でした。
また、先ほどの絶対値も「数直線の0からの距離」によって定義されていました。
数直線は何かというと数を大きい順に並べてできたものです。また、絶対値も数の大小を用いて定義していました。

数の大小を使って定義した数直線から有理数が生まれましたが、これとは違った距離の定め方があれば、有理数から新しい数が生まれるかもしれません。
それを実現したのが、p進数です。

今日はここまで。