→積分編⑥
「確かにこの面積の求め方は直感的には正しそうだけど、よくよく考えると”一つ一つのパーツの面積が0になる”という問題があるわ。
そこで…もう少し深く考えましょう」
そう話して、真理は黒板に図に幾つか線を追加しました。
「今、2つの長方形を書いたわ。
このうち赤いほうは”区間内で最も大きい値”を高さとした長方形。
青いほうは”区間内で最も小さい値”を高さとした長方形よ」
「2つの長方形の間にグラフのパーツがある、ってことは…
パーツの面積は2つの長方形の面積の間、ってこと?」
「そうよ。今、このパーツの面積を、区間の長さを
としましょう。
青い方の高さを、赤い方の高さを
とすると…」
「え、ちょっと待って!?」
と、ここでアキが少し慌てて止めました。
「なんだか、色々な文字がたくさん出てきて混乱しそう…」
「それもそうね。一つ一つ説明するわ」
「うん、まず…パーツの面積をってしているけど、”
”って何?」
「あぁ…これはもう少し後で分かるのだけど、番目のパーツの面積という意味なのよ」
「番目…?」
「ええ。今、この面積は幾つかのパーツに分けられているのだけど、そのある一つを取ったのよ。それが”番目”ってこと」
「…」
アキはまだモヤモヤしている様子です。
「たとえば、最初のパーツは1番目だから面積がになるの」
「あ、そういうことか!そしたら2番目のパーツの面積はってこと?」
「それでいいわ。
このパーツは何番目の数か分からないから、って置いているの。
実際にはと続くの」
「ふむふむ。なんとなく分かってきた!
…でも、直接数えたら何番目か分かるんじゃないかな?」
「フフフ…その発想は面白いわね」
真理は微笑みながら、話を続けました。
「でも、ここでは番目の話について設定するのが大事なのよ。それはもう少し後に分かるわ。
それと…」
それから悪戯っ子のような笑みを浮かべて話しました。
「仮に100000位細かく切ったとして、このパーツは何番目って数えるのは大変じゃない?」
「……うわぁ…」
真理の言葉を想像して少しゲンナリしたアキ。
「だから、番目って数字を置いて、何番目のパーツでもいいようにしているのよ」
「うん、なんか文字で置いた方がいい気がしてきた…」
「慣れないと難しいのだけど、慣れればこれほど便利なものはないわね。
さて、続けましょう。は…」
「”番目の区間の長さ”ってこと?」
「ええ。慣れるのが早いわね」
「まぁ、さすがに何回かサークルで勉強したからね!」
アキは喜んでそう話しました。
「それでは、次にと
だけど、これはこの区間における最小値と最大値のことよ」
これについて、アキでなくディーが答えました。
「…つまり、は
のときに最も小さくて、
のときに最も大きい、ってことか?」
「筋が良いわね」
「まーな!」
真理に褒められ得意気なディーです。
「でも、ちょっと惜しいわ。
このや
は”
番目の区間で”最小・最大のところよ。全体では最小・最大とは限らない」
「あ…いや、それは分かってたんだが、言葉が抜けてたんだ!」
「フフ…」
慌てて取り繕うディーに思わず笑ってしまう真理。
「では、文字については説明したところで、続けましょう。
このパーツの面積を、区間の長さを
、青い方の高さを
、赤い方の高さを
とすると…」
「このような式が成り立つわ」
「…青い方の面積が、赤い方は
だから…確かにこうなるな」
「そして、今区間を等分したとして、各区間ごとのそれぞれの面積を足し合わせると…」
「このようになる。真ん中の式は…」
「それぞれのパーツを足し合わせたから、求めたい図形の面積だ!」
「その通りよ。これをとしましょう。すると、このような等式が成り立つ」
「求めたい面積を2つの長方形の和、という分かっている図形の面積で近似した、ということだ」
と数正が補足しました。
「さて、ここからがちょっと難しい話なのだけど…。
今の数式を図で説明すると、このような形になるわ」
「青が小さい方の長方形、赤が大きい方の長方形を足し合わせたものになるわ。
そして、この図形とグラフの隙間が”との差”になる。
この差が…”区間を細かく分けるほど小さくなる”なら、と青い図形の面積の”極限”が一致するはずよね」
「…極限」
その言葉を聞いて若干真剣な顔で考えるアキ。
「区間を等分したときの青い方の面積を
、赤い方の面積を
とすると…」
「を限りなく大きくする、言い換えると限りなく細かく区間を分けたとき、
と
が収束して極限値が一致したとき…」
「この極限値はと一致する」
「つまり、これが積分の”定義”になるのよ。この定義の方法を…数正は名前知っているわよね?」
「ああ…」
真理に振られて、数正はその名前を話しました。
「”区分求積法”だな」
→積分編⑧
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「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代になりました。目指せ数学者。数学というフィールドを中心に教育界隈で色々しています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。
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