宇宙際タイヒミュラー理論入門を読んでみた。その2 | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

おはようございます、satoです。

先週の土日にあったMathPowerであった加藤文元教授の一般向け講演を聞いてIUTへの熱が上がっている私です。
前に一度星裕一郎さんの「宇宙際タイヒミュラー理論入門」を読んで、そこに出てくる用語を少し解説してみました。
それがこちらです。

前回はTate捻り $\widehat{\mathbb{Z}}(1)$ とは何か、という話をしました。
解説論文にはいくつかの定義が書いてあったのですが、その一つ

(標数 $0$ の) 代数閉体 $\Omega$ に対する $\Lambda(\Omega) \overset{\text{def}}{=} \lim_{\leftarrow n}\mu_n(\Omega)$
—　ここで, $n \ge 1$ に対して, $\mu_n(\Omega) \subset\Omega$ は, $\Omega$ の中の $1$ の $n$ 乗根のなす群.

を読み解くことを試みました。
$\zeta_n\in\mu_n(\Omega)$ とすると、 $\zeta_n$ は $\Omega$ の中の $1$ の $n$ 乗根なので、当然 $\zeta_n^n=1$ が成り立ちます。
とりあえず代数閉体 $\Omega$ を複素数体 $\mathbb{C}$ とすると、 $\mu_n(\Omega)$ は「半径が1の円に内接する正n角形の頂点(でそのうちの一つが $(1,0)$ にあるもの)」という事ができます。

で、今日の問題は $\lim_{\leftarrow n}\mu_n(\Omega)$ ってなんぞや？という話です。これは「逆極限」とか「副有限完備化」と呼ばれる操作を施しているのですが、これについてもう少し詳しく読み解いてみましょう。

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逆極限とは

逆極限とは

逆極限とは何か、について一般的に説明するのは難しいので、この例について考えていきます。

まず、自然数 $m,n$ に対して $n$ が $m$ で割り切れるとします。つまり、 $n=am$ とします。
この時、 $\zeta_n\in\mu_n(\Omega)$ に対して $\zeta_n^a\in\mu_m(\Omega)$ が成り立ちます。実際、 $(\zeta_n^a)^m=\zeta_n^{am}=\zeta_n^n=1$ となり、 $\zeta_n^a$ は1のm乗根です。

このように、二つの自然数 $m,n$ に対して $n$ が $m$ で割り切れるとすると、 $\mu_n(\Omega)\ni\zeta_n\mapsto\zeta_n^a\in\mu_m(\Omega)$ という関係が出来上がります。そこで、このような関係を持っているものを並べてあげます。
つまり、 $\zeta_i$ を1のi乗根として、 $n$ が $m$ で割り切れるなら $\zeta_n^a$ が1のm乗根となるように $(\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4,\ldots)$ を並べていきます。
このように元を作る操作が「逆極限」と呼ばれるものです。