古き良き？「解析概論」の味 | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

おはようございます、satoです。

先日研究用に本を幾つか買った、というお話をしました。
その中の一つが名著であり、解析学をする上で基本となる高木貞治著『解析概論』でした。これを買ったのは、今現在数学を研究をする中で基本となる極限や微分積分の概念について、少しずつ掴めてきた感覚をより完全にするためです。
これは私だけではないと思いますが、大学で初めて習って計算できた、良い成績だったからと言って理解できたとは限らず、その後研究をしたり人に教える中で習ったことが「こういうことだったのか!?」と繋がって理解できるのです。
それで「やっと微分積分(や線形代数)が理解できた」と話す研究者もいます。

ところで、この『解析概論』は結構厳密に書かれています。数学科に行ったら必ずと言っていいほど出てくる「ε-δ論法」も出てきます。
例えば、極限の定義とか、一部の極限についてはちゃんとε-δ論法で証明されています。
しかし、それだけでなくこの本には「微分とはどのような考えなのか」という話もきっちり書かれています。実は、微分というのは今高校で習う「微分係数」ではなく、「xの微小な変化」を現すものだったのです。このような話もきっちり『解析概論』には書かれています。

現在の数学書には厳密な証明が書かれていて、それはそれでとても良いのですが、やはり「考え方、発想の根源」のようなものが書かれていると深い理解に繋がります(自分の中でしっかり感覚が掴めているからかもしれませんが)。
そういう意味では、いわゆる古典と呼ばれるものはとても良いものが多いです。オイラー、リーマン辺りの話は本当に「自由」で「発想が見える」ものが多くて良い、と聞きます。
日本でこれに近いのは以前紹介した「岡潔」先生や「佐藤幹夫」先生の論文・講究録辺りかなと思います。

もちろんきっちりやるには紙とペンで書いて考えることが大事ですし、私もそうするのですが、このような深い思考を経て得た「直感」はさらに大きな発想に繋がります。
人は何かしらの直感を持っていますが、その精度を上げるためには「より深い考察」が必要になるのです。
そういうものを鍛える上でも、この本はとても良いです。

ちなみに、同時に買ったヘルマン・ヴァイル著「連続体」もとても良く、これは解析学の根本となる実数(連続体)についての批判的な分析という内容です。
この中で「実数の存在」についても書かれていますが、これは現在の研究とは別に自分が考えていた問題とも繋がっています。なので、これも並行して読んでいこうと思います。