最近考えた数学の話その1

おはようございます、satoです。
この頃ブログを結構書いていますが、あまり仕事の話をしていない事に気づきました(´・ω:;.:…このブログ「摂理のワークスタイル」って名前なのにね…笑

私の仕事の一つにして、最も大きなウェイトを占めるのが「数学研究」です。これは趣味も兼ねていまして(笑)、私は時間が空くと数学をしたり、考えたり、ネットを見たりしています。(ネットは数学に関係ないものも含む)
今日はある数学の問題を考えた時に面白かったことがあったので、それを書きたいと思います。

なお、今日の内容は完全に数学ネタです。専門的な内容であることにご留意ください。

1 層の射は層の構造を保つのか？
2 証明
3 感想

層の射は層の構造を保つのか？

数学には「層」という概念があります。
これは位相空間 $X$ に対して定義される数学的対象で、最先端の数学ではバリバリ使われるようなものです。
以下に、その定義を書いていきます。

$F$ が位相空間 $X$ 上の層である、というのは、 $X$ の開集合ごとに「集合」があって、それが綺麗につながっている、というような対象です。
これを数式で表現すると次のようになります。

まず $F$ として次のような組を考えます。
・ $X$ の開集合 $U$ に対応する集合 $F(U)$
・ $X$ の開集合 $U, V$ が $V\subset U$ となっている時、以下(1), (2)を満たす写像 $\rho_{U, V}^F:\ F(U)\rightarrow F(V)$
(1) $\rho_{U,U}:\ F(U)\rightarrow F(U)$ は恒等写像
(2) $W\subset V\subset U$ となっている時、 $\rho_{V,W}^F \circ\rho_{U,V}^F = \rho_{U,W}^F$
以上を満たす組 $F$ (もう少し言うと、位相空間 $X$ 導かれる開集合の圏 $T(X)$ から集合の圏への反変関手)を $X$ 上の前層と言います。

さらに、前層 $F$ が条件[Ⅰ]、[Ⅱ]を満たしている時にX上の層といいます。

[Ⅰ] 開集合 $U_\lambda\subset X\ (\lambda\in\Lambda)$ に対して $U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda$ とする。
$s,\ t\in\F(U)$ が、任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して $\rho_{U,U_\lambda}^F(s)=\rho_{U,U_\lambda}^F(t)$ が成り立つならば $s=t$ である。

[Ⅱ] 開集合 $U_1,\ U_2\subset X$ に対して $U=U_1\cup U_2$ とする。
$s_i\in F(U_i)\ (i=1,2)$ が $\rho_{U_1,U_1\cap U_2}^F(s_1)=\rho_{U_2,U_1\cap U_2}^F(s_2)$ を満たすならば、ある $s\in F(U)$ が存在して、 $\rho_{U,U_i}^F(s)=s_i$ が成り立つ。

感覚としては、[Ⅰ]は「部分を調べて全部同じなら、全体として同じ」ということを、[Ⅱ]は「部分同士を張り合わせられる」ということを表していると感じます。

さらに、2つのX上の層 $F,\ G$ に対して、層の射 $\phi: F\rightarrow G$ を
$X$ 上の開集合 $U$ に対して、(a)を満たすような写像 $\phi_U: F(U)\rightarrow G(U)$ の組
(a) $V\subset U$ となるX上の開集合 $U, V$ に対して、 $\rho_{U,V}^G \circ \phi_U=\phi_V \circ \rho_{U,V}^F$
とします。

実はこの層の射は $F,\ G$ が前層であっても定義することができます。
そこで浮かんだのが、見出しにある「層の射は層の構造を保つのか？」という疑問です。
この疑問を数式を使って具体的に表しますと

開集合 $U_1,\ U_2\subset X$ に対して $U=U_1\cup U_2$ とおく。
$s_i\in F(U_i)\ (i=1,2)$ が $\rho_{U_1,U_1\cap U_2}^F(s_1)=\rho_{U_2,U_1\cap U_2}^F(s_2)$ が成り立つとする。
このとき、[Ⅱ]よりある $s\in F(U)$ が存在して、 $\rho_{U,U_i}^F(s)=s_i$ が成り立つ。
ここで問題。
(1) $s\in F(U)$ を層の射 $\phi: F\rightarrow G$ で移したもの $\phi_U(s)\in G(U)$ に対して $\rho_{U,U_i}^G(\phi_U(s))=\phi_{U_i}(s_i)$ が成り立つか？

(2) $\rho_{U_1,U_1\cap U_2}^F(s_1)=\rho_{U_2,U_1\cap U_2}^F(s_2)$ から
$\rho_{U_1,U_1\cap U_2}^G(\phi_{U_1}(s_1))=\rho_{U_2,U_1\cap U_2}^G(\phi_{U_2}(s_2))$ が成り立つので、層 $G$ で[Ⅱ]の条件を用いると $s'\inG(U)$ で $\rho_{U,U_i}^G(s')=\phi_{U_i}(s_i)$ を満たすものが得られる。
この時、 $s'=\phi_U(s)$ が成り立つか？

つまり「層の射によって一部を張り合わせた時に、その張り合わせが保たれるのか」ってことを知りたかったので、このような問題を考えました。

証明

さて、こちらの二問はどちらも成り立ちます。以下、証明です。

(1) 層の射の条件(a)より

$\rho_{U,U_i}^G(\phi_U(s))=\phi_{U_i}(\rho_{U,U_i}^F(s))=\phi_{U_i}(s_i)$

となるので成り立つ。

(2) まず、条件が成り立つことを確かめる。

$\begin{eqnarray*}$\rho_{U_1,U_1\cap U_2}^G(\phi_{U_1}(s_1))&=&\phi_{U_1\cap U_2}(\rho_{U_1,U_1\cap U_2}^F(s_1))\\&=&\phi_{U_1\cap U_2}(\rho_{U_2,U_1\cap U_2}^F(s_2))\rho_{U_2,U_1\cap U_2}^G(\phi_{U_2}(s_2))$\end{eqnarray*}$

ここで、 $s'\inG(U)$ で $\rho_{U,U_i}^G(s')=\phi_{U_i}(s_i)$ となるものを取る。
(1)より $\rho_{U,U_i}^G(\phi_U(s))=\phi_{U_i}(s_i)$ が成り立つので、 $i=1,2$ に対して $\rho_{U,U_i}^G(\phi_U(s))=\rho_{U,U_i}^G(s')$ が成り立つ。
すると層の条件[Ⅰ]から $s'=\phi_U(s)$ が得られる。

以上より、層の射は構造を保つ、ということが示せた。

感想

私がこの証明をして一番面白いと思ったのは(2)の問題を考える際に条件[Ⅰ]が出てきたことです。
はじめは条件[Ⅱ]しか使わないのではないか、と考えていたのですが、貼り合わせたものが同じになるかどうかを確かめる際に使うんだな、と分かって面白かったです。
また、この問題を改めて考えてみると、意外と数式化して問題を記述するのが難しかったです。(当たり前の結果になる…ということが分かったり、そもそも何が疑問だったのか分からなくなったりしました)
現に、今回の記述で果たして私の確かめたかったことが表現できているのかは疑問が残ります。

こんな感じで、数学の研究というのは気になることがあったら数式化して、それで本当に表現できているのかを考えながら解いていく…という試行錯誤を経て成されているのです。