数学を「理解」するって、どういうことだろうか？ | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

おはようございます、satoです。

私は小学生の時から(…親によればそれよりも前から)数学が好きでした。
その好きが講じて今数学研究者になろうと頑張っています。
ところで、大学で数学を研究する前と研究してからでは「数学を理解する」ことについての認識が大きく変化しました。
なので、今日はこの話をしたいと思います。

目次非表示

数学を本格的に研究する前の私
研究してからわかった「理解」すること
このように…

数学を本格的に研究する前の私

数学を本格的に研究したのが大学院に入ってからですが、その前の私は次のような数式を見るのがとても好きでした。

$q\prod_{k=1}^\infty(1-q^k)^24=\sum_{n=1}^\infty\tau(n)q^n$

ちなみに、これは私のブログでもたまに出てくる「インドの魔術師」ラマヌジャンの $\tau$ と呼ばれるものの定義です。

これを見て、皆さんどう思いますか？

とっても「記号がたくさん」ですよね。

実は私、「こういうわけのわからない記号」がたくさんの数式を見ることが好きでした。
ごちゃごちゃして意味がわからない、そんな数式を見て「なんか神秘的」だと感じていたのです。

もともとこういう機械的なものを見るのが好きだったり、記号を見ているのが好きだった上に、漫画の影響で「呪文」のようなよくわからないけどかっこいい言葉にとても惹かれていた時代だったので、こういうのを見るだけで満足していたのです。「なんかカッコイイ！」って(笑)

私が大学時代本格的に研究するまでは、こういう感じで勉強するものを決めていました。

『絶対数学』という言葉がとてもカッコイイ、ということでこの分野を勉強したり

スキームという言葉が面白そう、と思って調べてみたり

そんな感じでした。
そして、定義の数式を見て、「あ、こういう感じなのね」って分かって満足していました。
定義の数式を覚えたから、とりあえず理解した、つもりになっていました。

研究してからわかった「理解」すること

しかし、数学の数式というのは実は単に知識として頭に記憶するだけでは到底使い物にならないのです。
高校までは公式を覚えればそれを適応するだけである程度は使えていました。たとえば、2次方程式の解の公式を使えば2次方程式は解くことができます。

しかし、数学の証明というのは実際のところ「定義」の意味を分かっていないとしっかり書くことができない場合がほとんどです。実際、大学時代に数学の演習をしていたときは簡単な問題しか解けなかったです。(もっとも、これは高校以前でもそうですが…)

数学というのは、ある現象を記号で表現する学問です。いわば「数式は言葉」です。
英語も単語をただ覚えるだけでなく「どこで使うか」とか「ニュアンス」とか、そういうところを理解しないと使えないように、数学も「記号一つ一つがどういう意味なのか」を理解してこそ、初めて理解することができます。
前には「数式の背景にある『数学的実体』を理解する」というのが数学を「数学的に」理解したことと表現しました。

そのためには定義を理解するだけでは不十分で、たとえば例を見たり、実際にどのように使っているのかを見ること、あるいは考え方を教えてもらうこと、というところが必要です。
つまり、「数式」に書かれていないところまで深く見る、聞く、ということが理解につながります。

私も数学を理解した、とはっきり思うのは本格的に研究したり、人に教えたりするなかで「どうしてこの数式を定義したのか」とか「どうしてこれが出てくるのか」というつながりを考えたときでした。
一つの数式が出てきたとして、それが「どうして」出てきたのか、「どのようにして」その発想が出てきたのか、その背景まで繋がったときに、初めてスッキリと理解した、といえます。

最も、今でも「どのようにして思いついた」か分からない数学の概念もあります。ラマヌジャンの結果なんかはまさにそのたぐいばかり…(笑)