千葉大学名誉教授志賀弘典先生と超幾何関数の『三位一体』定理

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数学にもいるんですね、三位一体！

こんばんは、satoです。

つい最近、千葉大学の数学科を巡っていた時のこと。

志賀弘典先生は一般向けの啓蒙書を多く書かれていて、名前を知っていたのですが、最近あるところで名前を聞いて調べてみたら、なんと千葉大学の名誉教授でした！

それで、久々に千葉大学の数学科を巡ってみました。

千葉大学理学部 数学・情報数理学科HP

構成員の中には安藤哲哉准教授もいらっしゃいました。この方の本で研究の際に勉強させていただきました…。

さて、せっかくなので志賀弘典名誉教授の研究内容を調べていたのですが、この方は超幾何関数というものを研究していました。

目次 非表示

超幾何関数とは

超幾何関数とは次のような関数です。

    \[F(a,b,c;x)=sum_{n=0}^infty frac{(a,n)(b,n)}{(c,n)(1,n)}x^n\]

よくわかりませんよね。(a,n)はポッポハマー記号と言いまして、

    \[(a,n)=a(a+1)(a+2)cdots(a+n-1)\]

というように、aから始めてn番目までの数を順々に掛けたものです。なので、

    \[(1,n)=1cdot2cdotcdots(1+n-1)=n!\]

と(1,n)はnの階乗となります。あと、(a,0)=1です。これは約束事。

というわけで、超幾何関数は

    \[F(a,b,c;x)=1+frac{ab}{c}x+frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)2!}x^2+cdots\]

となります。ちなみに、a=b=c=1とすると、

    \[F(a,b,c;x)=1+x+x^2+cdots\]

となり、これはfrac{1}{1-x}となります。その他、指数関数e^xとか三角関数も超幾何関数の係数を変えると出てきます。(詳細は略。テイラー展開を調べてみてください)

さて、この関数はGaussが最初に見つけました。それで、この関数を「Gaussの超幾何関数」といいます。

この関数は数学の様々な分野と関連しており、またそれ自身も色々な研究テーマを持っているとても魅力的なものです。

その中で、今日は一つ定理を紹介したいと思います。

三位一体定理

これまたGaussが1799年に見つけた定理なのですが、

算術幾何平均の逆数と楕円曲線の周期が超幾何関数の特殊値と一致する

というものです。…色々単語が出ていますが、これ以上数式を出すと大変なので、ここではこの定理の意味を説明したいと思います。

まず算術幾何平均ですが、これは相加平均と相乗平均を使って帰納的に出る数列の極限です。

要するにある二つの数から出る数論的なものです。

次に楕円曲線ですが、これは代数幾何学という分野の中でもよく研究される基本的なものです。

この二つの全く異なる分野のものが、超幾何関数によって一致している、という…とても美しい定理なのです。

専門用語ばかりでわかりにくいと思いますが、簡潔に話すと

全く異なるものが、実は超幾何関数を通してつながっていた！

という話です。超幾何関数、楕円曲線、算術幾何平均という三つが一つとなった定理、ゆえに「三位一体定理」というわけです！

志賀弘典教授はこの三位一体定理が超幾何関数をより一般化したものでも成り立つかどうか、またその背景に何があるのかを研究されていました。これってとても面白いと思います

不思議なつながりを持つ等式の背景に、何が成り立っているのかを知る

そこに数学研究の楽しみの一つがあります。

摂理の教会に行っている私は…

ところで、この「三位一体定理」ですが、三位一体と聞くとどうしても教会に通っている私は

父と子と御霊

という風に連想してしまいます。摂理では三位一体とは

神様、聖霊様、御子という三位が各位で存在して、一つの目的の下で一体となって動く

と教えられます。一方、この定理はどちらかと言えば

一つのものが楕円曲線の周期、超幾何関数、算術幾何平均という姿になって現れる

というイメージです。やっぱり、三位一体と聞くと、こういうイメージが強いのかな…と思いたくなるのは、私だけなのでしょうか。

3つの異なる性質を持ったものが一つとなって美しい性質を持った「三位一体」定理

を探したくなります。

この記事を書いたブロガー

sato
「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代になりました。目指せ数学者。数学というフィールドを中心に教育界隈で色々しています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。

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