logとexpから見る「拡大縮小の法則」～対数入門編～ | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

おはようございます、satoです。

今日は久々の数学ネタ。
摂理の御言葉に出てくる「拡大縮小の法則」について、高校生なら一度は触れたことのある「指数と対数」から話をしてみたいと思います。

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対数とは

対数とは

まずは指数と対数について復習します。
特に「対数」とは何か、についてよくわからないという人も多いので、ここについてできるだけ丁寧に解説してみようと思います。

まず、2を3回掛けると $2\times2\times2=8$ のように8になります。
これを $2^3=8$ のように書きます。これが指数表現というものです。そして2の右上の肩に乗っている3が指数です。
$4^2=16$ や $3^3=27$ のように何かの数の何乗になっている数字はたくさんあります。
ところで、指数というのは自然数の時には「同じ数を何回掛けたか」という意味になりますが、これを整数や有理数、実数(さらには果ては複素数)にまで拡張することができます。
たとえば、 $2^{1/2}=\sqrt{2}$ や $2^{-1}=\frac{1}{2}$ のように決まるわけですね。詳しいことは数学の様々な教科書があるのでここでは省きます。

ところで、たとえば $64$ という数字は $2^6=64$ や $4^3=64$ 、 $8^2=64$ のように同じ数だったとしても「どの数を繰り返しかけたか」によって指数が変わります。
この「繰り返し掛ける数」、言い換えると「指数表現をするときの肩に乗せられる数字」を底といいます。
たとえば、「 $8^2=64$ 」でいうなら、指数表現の底は「8」になります。

ここまでが指数の話ですが、対数はこの話を基にして考えると少し分かりやすくなります。

先程指数というものが実数まで使うことができる、ということを書きましたが、このようにして拡大した指数を使うと全ての正の実数が「ある数を底とした指数表現」で表せるのです。
たとえば、2を底とすると $2^1=2,\ 2^2=4$ というように表せますが、 $2^{?}=3$ となる実数「?」も存在します。
そこで、この「?」をどうにかして表したいのですが、その時に「底」と「表そうとしている数」を使うわけです。それが $\log_2 3$ という表現です。
ここで、 $\log$ が出てきたのですが、このように「指数を『底』と『表そうとしている数(真数)』を使って表す方法」が対数表現です。

まとめますと、全ての正の実数は $8=2^3$ のように何かしらの数を底とした指数表現で表すことができます。いわば「 $a^b=c$ 」というものです。これは「 $a$ と $b$ を使って $c$ を表した」ということでもあります。
これを「 $b$ を $a$ と $c$ を使って表した」もの、つまり $b=\log_ac$ が対数表現です。