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logとexpから見る「拡大縮小の法則」~対数入門編~

おはようございます、satoです。

今日は久々の数学ネタ。
摂理の御言葉に出てくる「拡大縮小の法則」について、高校生なら一度は触れたことのある「指数と対数」から話をしてみたいと思います。

対数とは

まずは指数と対数について復習します。
特に「対数」とは何か、についてよくわからないという人も多いので、ここについてできるだけ丁寧に解説してみようと思います。

まず、2を3回掛けると2\times2\times2=8のように8になります。
これを2^3=8のように書きます。これが指数表現というものです。そして2の右上の肩に乗っている3が指数です。
4^2=163^3=27のように何かの数の何乗になっている数字はたくさんあります。
ところで、指数というのは自然数の時には「同じ数を何回掛けたか」という意味になりますが、これを整数や有理数、実数(さらには果ては複素数)にまで拡張することができます。
たとえば、2^{1/2}=\sqrt{2}2^{-1}=\frac{1}{2}のように決まるわけですね。詳しいことは数学の様々な教科書があるのでここでは省きます。

ところで、たとえば64という数字は2^6=644^3=648^2=64のように同じ数だったとしても「どの数を繰り返しかけたか」によって指数が変わります。
この「繰り返し掛ける数」、言い換えると「指数表現をするときの肩に乗せられる数字」をといいます。
たとえば、「8^2=64」でいうなら、指数表現の底は「8」になります。

ここまでが指数の話ですが、対数はこの話を基にして考えると少し分かりやすくなります。

先程指数というものが実数まで使うことができる、ということを書きましたが、このようにして拡大した指数を使うと全ての正の実数が「ある数を底とした指数表現」で表せるのです。
たとえば、2を底とすると2^1=2,\ 2^2=4というように表せますが、2^{?}=3となる実数「?」も存在します。
そこで、この「?」をどうにかして表したいのですが、その時に「底」と「表そうとしている数」を使うわけです。それが\log_2 3という表現です。
ここで、\logが出てきたのですが、このように「指数を『底』と『表そうとしている数(真数)』を使って表す方法」が対数表現です。

まとめますと、全ての正の実数は8=2^3のように何かしらの数を底とした指数表現で表すことができます。いわば「a^b=c」というものです。これは「abを使ってcを表した」ということでもあります。
これを「bacを使って表した」もの、つまりb=\log_acが対数表現です。

    \[a^b=c\leftrightarrow b=\log_ac\]

このように指数と対数、指数表現と対数表現というものは実は同じものなのです。「ab乗はcである」という一つの事実をcを主語としたのが指数表現、bを主語としたのが対数表現です。

…とここまで書いていて多くの方はこんな疑問を思ったのではないでしょうか?

なんでわざわざこんな複雑な方法で表すのか?

って。

実はこの表現を使うことである良いことが起こるのです。
そして、これが様々に生きるのです。その良いこととは…

というところで字数が多くなったので、続きは明日(`・ω・´)

この記事を書いたブロガー

sato
「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代まであと一歩。数学者を志す大学院生で、教育系の仕事もしています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。

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