logとexpから見る「拡大縮小の法則」～計算編～ | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

おはようございます、satoです。

指数と対数から摂理の御言葉「拡大縮小の法則」について話す企画第二弾です。
前回は対数とは何かについて話しました。簡単に復習すると

「全ての数は何かしらの数のべき乗によって表現できる(指数表現)が、逆にその指数を「底と真数」を使って表現したのが対数」

ということです。

しかし、こう書いても分かりにくい対数をどうしてわざわざ表現したのか？
それは、「大きな数」を「小さい数」で捉えることが出来るからなのです。ここが指数と対数の「拡大縮小の法則」です。
今日はここについて書きたいと思います.

目次非表示

巨大な数の掛け算
常用対数
まとめ

巨大な数の掛け算

まず、指数表現の最も大きなところは大きな数をより簡単に表現することが出来るというところにあります。

$549755813888$

この数をいきなり覚えろ、というのはかなり難しいです。約5000億という大きな数字ですが、実はこれ

$2^{39}=549755813888$

というように、 $2^39$ として表現することが出来るのです。
こんな感じで、大きな数を「2と39」という小さい数で表現できる、というのが指数表現の良いところです。

そして、ただ大きな数を表現するだけでなく、それらの掛け算、割り算を簡単にすることが出来るというのも大きいです。

例えば、 $16777216\times32768$ をすぐに計算することは普通の人は難しいです。ところが $2^{15}=32768,\ 2^{24}=16777216$ である、ということを知っていると、

$2^{24}\times2^{15}$

さえ計算してしまえば、簡単に求められます。しかも、指数表現には指数法則というものがありまして

$2^{24}\times2^{15}=2^{24+15}=2^{39}$

というように掛け算が「指数の足し算」によって求められるのです！あとは $2^{39}=549755813888$ となるわけですね。
このように、「その数が2の何乗か」を知っている人は…言い換えると「ある数の2を底とした対数」を知っている人は、それを介して大きな数の複雑な計算を小さな数の簡単な計算によって処理できるというわけなのです。
これが対数表現の強みなのです。

今でこそコンピュータがありますので大きな数の計算を手ですることはなくなりましたが、この対数が発見された17世紀はまだコンピュータがなく、大航海時代で長距離の航海をすることが多かったので、それなりに大きな数を計算する必要がありました。それで、この対数表を作って計算をしていたわけなのです。

常用対数

さらに、実は底が10の対数(常用対数)を用いると、 $2^{54}$ のような指数表現によってしか表せないような大きな数の情報を知ることができます。
これは高校の受験問題でも一度取り組んだことがあると思います。

たとえば、 $2^{54}$ について知ろうとしてみます。 $\log_{10}2=0.3010\ldots$ であることが知られていますが、これを用いると $\log_{10}2^{54}=54\log_{10}2=16.2540\ldots$ (対数法則によります。解説はまた別の機会に)となります。これより $16\le\log_{10}2^{54}<17$ であることが分かります。
…とここまで来て、何を話しているんだ、となりますが。

上のことから $2^{54}=10^{16.254}=10^{16}\times10^{0.254}$ となります。ここでお気づきになるかもしれませんが、 $10^{0.254}$ は10未満の数です。
これより $\log_{10}2^{54}$ の整数部分がちょうど桁数を表しているということが分かります。ここでは17桁です。