おはようございます、satoです。
今日は前に話した「四角形が角のついた円だ」という鄭明析先生の箴言について、ちょっとした補足説明をします。
前の記事では
のを限りなく大きくすると、正方形の式
となることを書きましたが、今日はこの証明をしたいと思います。
使うのは、はさみうちの原理です。理系の高校生ならなんとか理解できる話です。
極限の証明
は
と同じなので、これから示すのは、次のことになります。
では、これを示します。まず、今xもyも2乗しているので、は共に0以上です。
ここで、とします。すると、
なので、次の不等式が成立します。
ここで、になります。(
となることに注意)
そういうわけで、上の不等式は
となります。さらに、なので、不等式の両端を
というように
を限りなく大きくするとどちらも
に収束します。
以上のことからはさみうちの原理よりのとき
となります。同様にとすると
になります。以上から
となるのでした。
ということで、「正方形が円の一種の極限になる」ということが単なる直感だけでなく、数学的にも正しいことが示されました。
この記事を書いたブロガー
-
「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代になりました。目指せ数学者。数学というフィールドを中心に教育界隈で色々しています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。
最近の投稿
物語2023.04.294/28は「四葉の日」というわけで。
信仰2023.03.18改めて考える、私の信仰のルーツ~最近の摂理についての報道から~
日常生活2023.01.09謹賀新年!今年の抱負と方向性を語ります。
信仰2022.12.312022年感謝したいことがたくさんで書ききれない件