不思議な距離の話 | 摂理研究所/キリスト教福音宣教会

こんばんは、satoです。

今週の御言葉は「考えが距離だ。考えと体が別々に生きたら、虚しく空虚だ」という主題です。
というわけで、今日は数学にまつわる距離の話についてしたいと思います。

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普通の距離の話
p進距離の話
心の距離の話

普通の距離の話

数学でよくある距離といえば絶対値があります。これは数直線の原点 $0$ からの距離を取ったものです。
たとえば、 $3$ の絶対値は $|3|=3$ 、 $-3$ の絶対値は $|-3|=3$ となります。正の数の絶対値はそのまま、負の数の絶対値は符号を取る、あるいは $-1$ 倍するという風に計算すればいいです。( $(-1)times(-1)=1$ から)

この絶対値を使って、数直線上の二点a,bの距離を $|b-a|$ と定義します。これは割と馴染みがあるものだと思います。

p進距離の話

ところで、数直線上の二点に対して、上の絶対値とは別の距離を取ることができます。それが $p$ 進距離と呼ばれるものです。
これがどんなものか、と言いますと…。

$p$ は素数( $1$ と自分自身以外で割れないもの)です。ここでは $p=3$ としましょう。
このとき、ある整数 $n$ があったとしたら、 $n$ が $3$ で何回割れるのかによって距離が決まります。ちゃんと数式を使うと

$n=r3^mtext{のとき、}|n|_3=frac{1}{3^m}$

となります。ただし、 $r$ は $3$ で割り切れない数です。ポイントは $m$ が大きくなるほど $0$ に近いということです。
たとえば、 $n=9$ なら $n=3^2$ なので $|9|_3=frac{1}{3^2}=frac{1}{9}$ となります。
今の話は整数の話でしたが、有理数(分数)でも同じようなことが言えます。

$n=frac{r}{s3^m}text{のとき、}|n|_3=3^m$

ただし、 $r,s$ は $3$ で割り切れない数です。分母に $3^m$ がついていると大きくなっていきます。たとえば、 $n=frac{1}{18}$ とすると、

$n=frac{1}{2cdot3^2}text{なので}|n|_3=3^2=9$

となります。

そして、数直線上の二つの有理数に対して $|a-b|_3$ を取るとき、これを $3$ 進距離と言います。この距離を一言でいうと

$3$ でたくさん割れるほど $0$ との距離が近いということです。

たとえば、 $|7-1|_3=1/3,|10-1|_p=1/9$ なので、 $7$ より $10$ の方がより $1$ に近いと言えるわけです。不思議な話ですよね(´・ω・`)

余談ですが、実数というのは有理数の収束する数列全体(を同じところに収束する列は同じと見たもの)として定義できます。 $3$ 進距離でも数列の極限について考えることができて、その極限全体を $3$ 進数と言います。 $3$ を素数 $p$ にすると $p$ 進数になります。
この $p$ 進数は複素数や実数と同じようなことが出来るのですが、いろいろ性質が異なっているところがあって、とても面白い数学的対象です。

この $p$ 進数の話は色々なところでされていますが、最近だと

数学ガールの秘密ノート 160回かぎりなく、あなたのそばに(後編)

で説明されています。こちらは $p=2$ で話が進んでいます。

心の距離の話

ところで、こちらは有料会員になれば最後まで読めるのですが、ちょうど無料で読める部分の最後に同心円の図があります。

同様の図を私も書いてみました。中央に行くほど、 $2$ で割れる回数が多くなります。中心が $0$ です。

この図は $2^m$ の倍数と $0$ の $2$ 進距離はすべて同じである、という話を図にしたものです。
$p$ 進距離を言い換えると $b-a$ が $p^m$ の倍数の集合に属しているならみな同じ距離ということです。

心の距離も似たようなことが言えるのではないでしょうか？
二人がどれくらい同じ考えを持っているのか、どれくらい心を共有できるかによって、距離が近くなったり遠くなったりします。
それはどこに住んでいるのか、とかどれくらい離れているのか、とは関係がありません。最近だとネットの力で物理的な距離は関係がなくなっています。
これって、普通の絶対値というよりは $p$ 進距離に近い感じがします。

$0$ の $p$ 進距離は $0$ で、 $p$ 進距離が $0$ なのは $0$ だけです。
これはつまり、距離が $0$ ということは全く同じであるということを意味します。

私たちはみな異なる考えを持っています。
だけど、一人一人が対話してお互いの考えを理解して共有するとき、その考えがだんだんと一つとなっていきます。

それは私たち人間と神様との間でも同じです。
私たちと神様は異なります。だけど、私たちが御言葉を学んで、限りなく神様の考えに近づくことができます。
そうして、一歩一歩歩んでいったときに…神様との心の距離は $0$ に収束していくのです。
また、同じ神様に近づく人同士の心の距離もまた $0$ に収束するのです。
そんな人生に、私もしていきたいです。