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不思議な距離の話

こんばんは、satoです。

今週の御言葉は「考えが距離だ。考えと体が別々に生きたら、虚しく空虚だ」という主題です。
というわけで、今日は数学にまつわる距離の話についてしたいと思います。

普通の距離の話

数学でよくある距離といえば絶対値があります。これは数直線の原点0からの距離を取ったものです。
たとえば、3の絶対値は|3|=3-3の絶対値は|-3|=3となります。正の数の絶対値はそのまま、負の数の絶対値は符号を取る、あるいは-1倍するという風に計算すればいいです。((-1)times(-1)=1から)

この絶対値を使って、数直線上の二点a,bの距離を|b-a|と定義します。これは割と馴染みがあるものだと思います。

p進距離の話

ところで、数直線上の二点に対して、上の絶対値とは別の距離を取ることができます。それがp進距離と呼ばれるものです。
これがどんなものか、と言いますと…。

pは素数(1と自分自身以外で割れないもの)です。ここではp=3としましょう。
このとき、ある整数nがあったとしたら、n3で何回割れるのかによって距離が決まります。ちゃんと数式を使うと

    \[n=r3^mtext{のとき、}|n|_3=frac{1}{3^m}\]

となります。ただし、r3で割り切れない数です。ポイントはmが大きくなるほど0に近いということです。
たとえば、n=9ならn=3^2なので|9|_3=frac{1}{3^2}=frac{1}{9}となります。
今の話は整数の話でしたが、有理数(分数)でも同じようなことが言えます。

    \[n=frac{r}{s3^m}text{のとき、}|n|_3=3^m\]

ただし、r,s3で割り切れない数です。分母に3^mがついていると大きくなっていきます。たとえば、n=frac{1}{18}とすると、

    \[n=frac{1}{2cdot3^2}text{なので}|n|_3=3^2=9\]

となります。

そして、数直線上の二つの有理数に対して|a-b|_3を取るとき、これを3進距離と言います。この距離を一言でいうと

3でたくさん割れるほど0との距離が近いということです。

たとえば、|7-1|_3=1/3,|10-1|_p=1/9なので、7より10の方がより1に近いと言えるわけです。不思議な話ですよね(´・ω・`)

余談ですが、実数というのは有理数の収束する数列全体(を同じところに収束する列は同じと見たもの)として定義できます。3進距離でも数列の極限について考えることができて、その極限全体を3進数と言います。3を素数pにするとp進数になります。
このp進数は複素数や実数と同じようなことが出来るのですが、いろいろ性質が異なっているところがあって、とても面白い数学的対象です。

このp進数の話は色々なところでされていますが、最近だと

数学ガールの秘密ノート 160回 かぎりなく、あなたのそばに(後編)

で説明されています。こちらはp=2で話が進んでいます。

心の距離の話

ところで、こちらは有料会員になれば最後まで読めるのですが、ちょうど無料で読める部分の最後に同心円の図があります。

2進距離の図-摂理☆祝福の方程式

同様の図を私も書いてみました。 中央に行くほど、2で割れる回数が多くなります。中心が0です。

この図は2^mの倍数と02進距離はすべて同じである、という話を図にしたものです。
p進距離を言い換えるとb-ap^mの倍数の集合に属しているならみな同じ距離ということです。

心の距離も似たようなことが言えるのではないでしょうか?
二人がどれくらい同じ考えを持っているのか、どれくらい心を共有できるかによって、距離が近くなったり遠くなったりします。
それはどこに住んでいるのか、とかどれくらい離れているのか、とは関係がありません。最近だとネットの力で物理的な距離は関係がなくなっています。
これって、普通の絶対値というよりはp進距離に近い感じがします。

0p進距離は0で、p進距離が0なのは0だけです。
これはつまり、距離が0ということは全く同じであるということを意味します。

私たちはみな異なる考えを持っています。
だけど、一人一人が対話してお互いの考えを理解して共有するとき、その考えがだんだんと一つとなっていきます。

それは私たち人間と神様との間でも同じです。
私たちと神様は異なります。だけど、私たちが御言葉を学んで、限りなく神様の考えに近づくことができます。
そうして、一歩一歩歩んでいったときに…神様との心の距離は0に収束していくのです。
また、同じ神様に近づく人同士の心の距離もまた0に収束するのです。
そんな人生に、私もしていきたいです。

この記事を書いたブロガー

sato
「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代まであと一歩。数学者を志す大学院生で、教育系の仕事もしています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。

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