satoの数学小説シリーズ「真理の森の数学セミナー」絶賛更新中!

デジタルデトックス6日目〜勉強したことのまとめ〜

デジタルデトックス6日目〜勉強したことのまとめ〜

おはようございます、satoです。

デジタルデトックスを始めてから、6日が経過しました。もうすぐ1週間です。
明日は主日なので、スマホをあまりいじることがないのですが、今日は1週間を振り返ってみたいと思います。

デジタルデトックスをしていて改めて分かったことは、私が時間のある時にネットで時間を潰そうとしていたということです。
実際、ネットで時間を潰すのは摂理に来る前も来てからも変わらない習慣となっていたようでした。
スマホが手元になくなったことで、その分のエネルギーが様々な方向に走っていった、というところでしょうか。
給料日だったこともありますが、今週だけでも散髪や手続き等々最近したかったことを消化できました。

それとは別に数学の論文も読み進めることができました。
正直フランス語なんて読めない、と思っていたのですが…いざやってみると、フランス語を英語に翻訳したあと何とか解読することができました。
その解読できたところを、ポヤポヤしたイメージのままですが書いていこうと思います。今回は数式なしで。

私が勉強していたのは「数論的D加群」と呼ばれる分野の原論文です。
そもそも、D加群というのは「微分作用素」、関数を微分する作用のある対象を研究したものです。
で、この「微分作用素」をどのように定義するのか、というのが問題です。

みなさんが良く知っている複素数の範囲だと、スキームXに対してXの関数環のテンソル積の「対角射で0になるもの」のイデアルのn乗による剰余環の双対を取ることで微分作用素ができます。

ところで、複素数は標数が0(1をいくら足しても0にならない)の体です。
これに対して、標数が正の素数pである体を考えることがあります。この時に定義されるのが「数論的D加群」です。
この場合は、イデアルIに対して、テンソル積に該当するようなある代数が定義され、そこから双対を取っていくという流れになりそうです。

で、気になるのが「どうしてそんなことを考えるのか」。
これについては私はまだ良く分かっていないのですが、正の素数pが標数になっている場合「p乗」というのがかなり特殊なものになるのかな、と推測します。

これは数学的でない私の妄想ですが、そもそも微分作用素はテイラー級数の係数とつながっています。
テイラー級数は「ある点の近くにおける関数の多項式近似」とも言えますが、この前提にあるのが「小さい数をn乗するともっと小さくなっていく」ということです。
この「小さい数をn乗するともっと小さくなる」というのが標数pの世界だとうまくいかないのかな、なんて考えています。
というのも、p進数体というのは「p進展開」と呼ばれる表記がありますが、これはpを小さい数としてテイラー展開しているようなものになります。
この時pのp乗というものも出るのですが、これが「小さい数を小さい数乗する」というものになって具合が悪いのでは…と思った次第です。
あくまで私の妄想ですので間違いな気もしますが…。

まぁ、妄想もできない状態よりは一歩進んだのかなと思います。
今度は数式でまとめていきたいところです。

この記事を書いたブロガー

sato
「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代まであと一歩。数学者を志す大学院生で、教育系の仕事もしています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。

日常生活カテゴリの最新記事