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円と定規さえあれば正多角形が書ける話

おはようございます、satoです。

今朝の明け方、結構眠い状態だったのですが頑張って教会に来たら…なんと、こんな箴言が!

<円形と楕円形>は「極致の形象を成す基本」だ。

<円形と楕円形>は「一対」だ。

神様は「円形と楕円形」に構想なさって宇宙万物も創造なさった。-20171109鄭明析先生の明け方の箴言より

円形と楕円形について深い御言葉が出てきました。数学者としては見逃せない話。
ちなみに、アイキャッチに出てくる螺旋もある意味で「円」の仲間です。そう考えると、この世界は円を基本として創造されているということが理解できます。

今回は

全能なる神様は「円形と楕円形の二つの核」を基本構想にして、三角形、四角形、六角形、八角形など「角のある形と形象」を創造なさった。

こちらの箴言について、数学者としての一見解をご紹介します。

この上に挙がっている正多角形、実は定規とコンパス(=円)があれば描ける図形なのです。
円形を基本として、円を繰り返し使うだけでキレイに描けます。

一番簡単なのは正六角形です。作り方は、

1.自分が描きたい図形の辺の長さと同じ半径で円を描く。
2.1で描いた円周上の何処かににコンパスの針を置いて、また円を描く。
3.1と2の円の交点にコンパスの針を置いて、また円を描く。これを繰り返すと元に戻る。
4.後は交点同士を結んでいくと正六角形になる。

というわけです。正三角形や正方形も同じように描けます。

ちなみに、このようにコンパスと定規を使って描ける正多角形は他に「正五角形、正17角形」があります。それ以外の正多角形は定規とコンパスだけでは描けません。(ただし、この定規は目盛りがないものとします)

個人的には「楕円形を使うことで正多角形が描けるのか」はよく分かっていませんが、書けたらすごいなと思っています。

というわけで、確かに「円を基本として正多角形等の角のある図形を作れる」わけです。

ちなみに、鄭明析先生の箴言で

<円形と楕円形>を基本としてさまざまな形と形象が成される。 楕円形を縦にした形と横にした形だ。
また<四角形>は一種の「角(かく)のある円形と楕円形」だ。

というものもありました。実はこれも数学的に正しくて、四角形はある意味円を極限操作して得られるものなのです。

これについては、明日解説してみます。

本日のまとめ:円を使うと正多角形を描ける。ちなみに、これを証明するのは難しい。
楕円と合わせると描けるものが増えるのかはまだ分かりません。

この記事を書いたブロガー

sato
「素直に、深く、面白く」がモットーの摂理男子。霊肉ともに生粋の道産子。30代まであと一歩。数学者を志す大学院生で、教育系の仕事もしています。
軽度の発達障害(ADHD・PD)&HSP傾向あり。

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